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1.数列的概念

按肯定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每个数都叫做数列的项.

从数列概念可以看出，数列的数是按肯定次序排列的，假如组成数列的数相同而排列次序不同，那样它们就不是同一数列，比如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不一样的数列.

在数列的概念中并没规定数列中的数需要不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….

数列的项与它的项数是不一样的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是等于f，而项数是指这个数在数列中的地方序号，它是自变量的值，等于f中的n.

次序对于数列来讲是十分要紧的，有几个相同的数，因为它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质有什么区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不一样的次序排列时，就会得到不一样的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按什么样的次序排列都是同一个集合.

2.数列的分类

依据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，比如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，假如把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.

根据项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.

3.数列的通项公式

数列是按肯定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律一般是用式子f来表示的，

这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每一个函数关系不都可以用分析式表达出来一样，更不是每一个数列都能写出它的通项公式;有些数列虽然有通项公式，但在形式上，又可能不是的，仅仅了解一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不可以确定的，通项公式更非.如：数列1，2，3，4，…，

由公式写出的后续项就不同了，因此，通项公式的总结不只要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多察看剖析，真的找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没通用的办法可循.

再强调对于数列通项公式的理解注意以下几个方面：

数列的通项公式事实上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为概念域的函数的表达式.

假如了解了数列的通项公式，那样依次用1，2，3，…去替代公式中的n就能求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是不是是某数列中的一项，若是的话，是第几项.

如所有些函数关系未必都有分析式一样，并非所有些数列都有通项公式.

如2的不足近似值，精准到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没通项公式.

有些数列的通项公式，形式上可能不是的，正如举例中的：

有的数列，只给出它的前几项，并没给出它的构成规律，那样仅由前面几项总结出的数列通项公式并不.

4.数列的图象

对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：

序号：
1234567

项：45678910

这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的看法看，数列可以看作是一个概念域为正整集N*的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.

因为数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和分析式.

数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.

数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为便捷起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化状况，但不精准.

把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在概念域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.

5.递推数列

一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①

数列①还可以用如下办法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。

1.已知数列{an}中，an=n2+n，则a3等于

A.3B.9

C.12D.20

答案：C

2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是

A.1，12，13，14，…

B.-1，-2，-3，-4，…

C.-1，-12，-14，-18，…

D.1，2，3，…，n

分析：选C.对于A，an=1n，n∈N*，它是无穷递减数列;对于B，an=-n，n∈N*，它也是无穷递减数列;D是有穷数列;对于C，an=-n-1，它是无穷递增数列.

3.下列说法不正确的是

A.依据通项公式可以求出数列的任何一项

B.任何数列都有通项公式

C.一个数列可能有几个不同形式的通项公式

D.有的数列可能没有项

分析：选B.不是所有些数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，….

4.数列23，45，67，89，…的第10项是

A.1617B.1819

C.2025D.2223

分析：选C.由题意知数列的通项公式是an=2n2n+1，

∴a10=2×102×10+1=2025.故选C.

5.已知非零数列{an}的递推公式为an=nn-1an-1，则a4=

A.3a1B.2a1

C.4a1D.1

分析：选C.依次对递推公式中的n赋值，当n=2时，a2=2a1;当n=3时，a3=32a2=3a1;当n=4时，a4=43a3=4a1.

1.不等式的概念

在客观世界中，量与量之间的不等关系是常见存在的，大家用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这类不等号的式子，叫做不等式.

2.比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来概念的，

有a-b>0;a-b=0;a-b<0.

另外，若b>0，则有>1;=1;<1.

概括为：作差法，作商法，中间量法等.

3.不等式的性质

对称性：a>b;

传递性：a>b，b>c;

可加性：a>ba+cb+c，a>b，c>da+cb+d;

可乘性：a>b，c>0ac>bc;a>b>0，c>d>0;

可乘方：a>b>0;

可开方：a>b>0.

复习指导

1.“一个方法”作差法变形的方法：作差法中变形是重点，常进行因式分解或配方.

2.“一种办法”待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目的式，再借助多项式相等的法则求出参数，最后借助不等式的性质求出目的式的范围.

3.“两条常用性质”

倒数性质：①a>b，ab>0<;②a<0

③a>b>0,0;④0

若a>b>0，m>0，则

①真分数的性质：<;>;

②假分数的性质：>;<.

1.满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对，称为二元一次不等式的一个解，所有如此的有序数对构成的集合称为二元一次不等式的解集。

2.二元一次不等式的每个解作为点的坐标对应平面上的一个点，二元一次不等式的解集对应平面直角坐标系中的一个半平面。

3.直线l：Ax+By+C=0把坐标平面划分成两部分，其中一部分对应二元一次不等式Ax+By+C>0，另一部分对应二元一次不等式Ax+By+C<0。

4.已知平面地区，用不等式表示它，其办法是：在所有直线外任取一点)，将它坐标代入Ax+By+C，判断正负就能确定相应不等式。

5.一个二元一次不等式表示的平面地区是相应直线划分开的半个平面，一般用特殊点代入二元一次不等式检验就能断定，当直线不过原点时常选原点检验，当直线过原点时，常选或代入检验，二元一次不等式组表示的平面地区是它的每个不等式所表示的平面地区的公共部分，注意边界是实线还是虚线的意思。“线定界，点定域”。

6.满足二元一次不等式的整数x和y的取值构成的有序数对，称为这个二元一次不等式的一个解。所有整数解对应的点称为整点，它们都在这个二元一次不等式表示的平面地区内。

7.画二元一次不等式Ax+By+C≥0所表示的平面地区时，应把边界画成实线，画二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面地区时，应把边界画成虚线。

8.若点P与点P1在直线l：Ax+By+C=0的同侧，则Ax0+By0+C与Ax1+Byl+C符号相同;若点P与点P1在直线l：Ax+By+C=0的两侧，则Ax0+By0+C与Ax1+Byl+C符号相反。

9.从实质问题中抽象出二元一次不等式的步骤是：

依据题意，设出变量;

剖析问题中的变量，并依据每个不等关系列出常量与变量x，y之间的不等式;

把每个不等式连同变量x，y有意义的实质范围合在一块，组成不等式组。